linlin9 2012-9-8 11:03
庫侖定律
靜電學最基本的定律是庫侖定律。一個點電荷 q 作用於另一個點電荷 Q 的靜電力 \mathbf{F} ，可以用庫侖定律計算出來。點電荷是理想化的帶電粒子。在這裡，稱點電荷 q 為源點電荷，稱點電荷 Q 為檢驗電荷。靜電力的大小跟兩個點電荷之間的距離的平方成反比，跟 q 、Q 的乘積成正比，作用力的方向沿連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸：
\mathbf{F}(\mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{r^2}\hat{\mathbf{r}} ；
其中，\epsilon_0=8.854\ 187\ 817\ \times 10^{-12} C2N−1m−2是電常數，\mathbf{r} 是從源點電荷 q 指向檢驗電荷 Q 的向量，\hat{\mathbf{r}} 是其單位向量。
[編輯] 電場
電場 \mathbf{E} 定義為作用於一個檢驗電荷 Q 的靜電力 \mathbf{F} 除以 Q ：
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{F}(\mathbf{r}) /Q 。
從這個定義和庫侖定律，一個源點電荷 q 產生的電場可以表達為
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}} 。
[編輯] 疊加原理
在靜電學裡，疊加原理闡明，任何兩個點電荷的交互作用與其它點電荷無關。因此，給予 N 個點電荷，我們可以應用庫侖定律，單獨地計算每一個源點電荷 qi 作用於檢驗電荷 Q 的靜電力 \mathbf{F}_{i} 。這樣，作用於檢驗電荷 Q 的總靜電力 \mathbf{F} 是
\mathbf{F}= \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_{i} 。
我們可以得到這便利。原因是庫侖定律線性地相依於源點電荷 qi 。
將作用力除以檢驗電荷 Q ，可以得到電場。所以，總電場 \mathbf{E} 為
\mathbf{E}= \sum_{i=1}^N \mathbf{E}_{i} ；
其中，\mathbf{E}_{i} 是源點電荷在檢驗電荷的位置所產生的電場。
類似地，電位也遵守疊加原理：
V= \sum_{i=1}^N V_{i} ；
其中，Vi 是源點電荷在檢驗電荷的位置所產生的電位。
[編輯] 高斯定律
高斯定律闡明，流出一個閉表面的電通量與這閉曲面內含的總電荷量成正比。比例常數是電常數的倒數。用積分方程式形式表達，
\oint_S\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{A} =\frac{1}{\epsilon_0} \int_\mathbb{V}\rho\cdot\mathrm{d}V ；
其中，\mathrm{d}\mathbf{A} 是無窮小面積元素，ρ 是電荷密度，dV 是無窮小體積元素。
用微分方程式形式表達，
\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} 。
[編輯] 帕松方程式
綜合電位的定義和高斯定律的微分方程式，可以給出電位 V 和電荷密度 ρ 之間的關係方程式，稱為帕松方程式：
{\nabla}^2 V = - {\rho\over\epsilon_0} 。
給予點電荷的分佈資料和充分的邊界條件，應用帕松方程式，我們可以計算在空間裏任何位置的電位 V 。根據唯一定理，這也是唯一的解答。
[編輯] 拉普拉斯方程式
假若電荷密度是零，則帕松方程式變為拉普拉斯方程式：
{\nabla}^2 V = 0 。
給予充分的邊界條件，應用拉普拉斯方程式，我們可以計算在真空裏任何位置的電位 V 。根據唯一定理，這也是唯一的解答。